On the involutive Banach algebra associated to a topological dynamical system

El Área de Matemática del PEDECIBA invita a la defensa de tesis de Maestría en Matemática del estudiante

Tabaré Roland Silveira

titulada "On the involutive Banach algebra associated to a topological dynamical system"

Tutora: Dra. Matilde Martínez

Tribunal: Dr. Juan Alonso, Dra. Eugenia Ellis, Dr. Ruy Exel

Resumen:

El producto cruzado es una construcción que actúa como puente entre la teoría de álgebras de operadores y los sistemas dinámicos. Dada la acción de un grupo discreto y numerable G en un espacio compacto Hausdorff X, el producto cruzado asociado a la acción es un álgebra de Banach cuyas operaciones codifican la acción del grupo en el espacio. Como tal, el producto cruzado está equipado con una norma que hace de este una *-álgebra de Banach. Usualmente, el tipo de norma elegida para el producto cruzado suele ser una que lo hace una C*-álgebra, pero hay multitud de otras normas que pueden elegirse, y esta elección determina de manera crucial el producto cruzado obtenido. En particular, la cantidad de información retenida por el producto cruzado puede variar en función del tipo de norma elegida.
En este trabajo, nos ocuparemos del estudio del producto cruzado obtenido al considerar una norma de tipo ℓ¹, lo cual da como resultado una *-álgebra de Banach. Denotamos a este producto cruzado ℓ¹(G,X). Caracterizaremos distintas propiedades dinámicas de la acción como propiedades analítico-algebraicas de ℓ¹(G,X), generalizando resultados conocidos para acciones de Z. Determinaremos precisamente cuándo la acción es topológicamente libre en términos de ℓ¹(G,X) y, asumiendo libertad topológica de la acción, también caracterizaremos minimalidad, transitividad topológica y libertad topológica residual de la acción en función de propiedades sobre la estructura de ideales de ℓ¹(G,X). Probaremos además que, para grupos abelianos y libres de torsión, ℓ¹(G,X) detecta libertad de la acción de una forma que no puede ser detectada en el mucho más estudiado producto cruzado C*. Este resultado es un indicio de que el producto cruzado ℓ¹(G,X) retiene más información dinámica de la acción que su contraparte C*-algebraica.
Finalmente, responderemos la interrogante de exactamente cuánta información de la acción es retenida por ℓ¹(G,X). La respuesta, quizás sorprendentemente, es que toda la información de la acción es recordada por el producto cruzado en el siguiente sentido: si dos acciones, una de G en X y otra de H en Y, son tales que ℓ¹(G,X) es isométricamente isomorfo a ℓ¹(H,Y), entonces las acciones son conjugadas. Esto muestra un contraste marcado entre ℓ¹(G,X) y su contraparte C*, dado que, si bien no se sabe con exactitud cuál es la información dinámica de la acción que es retenida en el producto cruzado C*, esta suele estar relacionada con la clase de equivalencia orbital de la acción más que con su clase de conjugación.