Contribuciones al estudio de dinámicas de atracción global

Tribunal: Jorge Iglesias, Víctor Mañosa, Pablo Monzon, Luis Piñeyrúa, José Vieitez. 
 

El comportamiento de atracción global en un  sistema dinámico  hace referencia a la existencia de un conjunto compacto invariante que atrae a todas las trayectorias a futuro del sistema.  A lo largo de las décadas, se han desarrollado diversas técnicas y herramientas para analizar y caracterizar la existencia de un atractor global de un sistema dinámico, lo que ha llevado a importantes avances teóricos y aplicaciones  en numerosos campos.
En esta tesis doctoral, nos enfocaremos en explorar y analizar principalmente dos  aspectos relacionados con la dinámica de  atracción global en sistemas dinámicos discretos.
a) Por una parte consideraremos  un homeomorfismo de \mathbb{R}^m con la propiedad del sombreado topológico y con un  atractor global. Veremos cómo interactúa la propiedad del sombreado  con el atractor. Obtendremos como resultado principal de esta parte el siguiente

Teorema: Sea f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m, m\geq2,  un  homeomorfismo con la propiedad del sombreado topológico tal que  K\subset \mathbb{R}^m es atractor global estable. Entonces K se reduce a un punto.

b) Por otra parte se estudian  condiciones suficientes para garantizar  dinámicas de atracción global. Mostraremos una forma de perturbar  ciertos mapas que tienen atracción global  para que esta propiedad se mantenga.  Algunos de los resultados que se obtienen son los siguientes.
 
Teorema: Sea f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m un mapa con sombreado métrico y con un punto p_f atractor global. Para todo \alpha>0, existe \delta>0 tal que todo mapa g que satisface:  
Existe q_g\in \mathbb{R}^m  atractor local de g,
$ p_f  \in B(q_g, 2 \alpha) \subset B_{q_g} $, donde B_{q_g} es la cuenca de atracción de q_g respecto a g.
\|g-f\|<\delta.
Entones q_g es atractor global para g.

Como aplicación se muestra cómo se pueden obtener nuevos ejemplos de mapas que tienen respuesta afirmativa al problema de LaSalle a partir del Teorema anterior.
El problema de LaSalle plantea si la siguiente condición es suficiente para obtener una dinámica de atracción global:  Sea f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m de clase C^1 si p es punto fijo y $\rho(J_f(x))<1$ para todo x\in \mathbb{R}^m. ¿Es p globalmente asintóticamente estable?

Siguiendo en la búsqueda de condiciones suficientes para garantizar dinámicas de atracción global Rus en  plantea una condición más fuerte del problema de LaSalle. En vez de solamente pedir como hipótesis que el diferencial en cada punto tenga valores propios con módulo menor que 1, se puede pedir esa condición a lo largo de la órbita, es decir, se puede pedir que el diferencial de $f^n$ en cada punto tenga que tener valores propios con módulo menor que 1.

En este trabajo se da una respuesta  a la conjetura de Rus para dimensión m\geq 4. Para ello, tomaremos un campo vectorial particular que es una  modificación del campo propuesto por Bernat y Llibre y consideraremos su flujo a tiempo 1. Veremos cómo este flujo es un contraejemplo de esta Conjetura.  En dimensión 2 si además pedimos que el infinito sea repulsor veremos que la hipótesis de Rus implica la no existencia de puntos periódicos.