El Teorema de Gross-Zagier

El Área de Matemática del PEDECIBA invita a la defensa de tesis de Maestría en Matemática de la

estudiante Carolina Chiesa

titulada El Teorema de Gross-Zagier

Tutor: Dr. Gonzalo Tornaría

Tribunal: Dres. Gustavo Rama, Eduardo Walchek y Daniel Barrera

Resumen:

El Teorema de Gross-Zagier, de gran relevancia en la Teoría de números, establece una conexión entre ciertos objetos algebraicos: puntos de Heegner asociados a una curva elíptica, y ciertos objetos analíticos: derivadas de L-series de Rankin.
Una curva elíptica E tiene una L-serie asociada LE. Si LE(1) = 0, este teorema da una fórmula del tipo
LE(1) = Cte · h(P)

donde P es un punto de Heegner, que representa un punto racional especial de la curva, y h(P) es su altura.
La altura de un punto es no nula si y sólo si dicho punto tiene orden infinito, por lo que cuando la derivada no se anula la fórmula anterior implica la existencia de infinitos puntos
racionales.
En mi tesis de maestría se presentan las técnicas empleadas en la prueba de Gross-Zagier, que puede esencialmente dividirse en dos partes.
Por una parte, el método de Rankin permite expresar el valor de la L-serie en 1 como el producto interno de Petersson entre dos formas modulares de peso 2 para luego calcular sus coeficientes de Fourier. Por otra parte, el lado derecho puede manipularse localmente distinguiendo el caso arquimediano del no arquimediano.