"Grupos De Coxeter"

El Área Matemática del PEDECIBA presenta la Defensa de Tesis de Maestría del estudiante Ana Laura Fortes.

Resumen:

El objetivo principal de este trabajo de tesis es demostrar que los grupos de Coxeter pueden realizarse como subgrupos discretos de Lie. Estos grupos se definen mediante generadores y relaciones, lo que permite estudiarlos también desde una perspectiva combinatoria, la cual abordamos.

El eje central del trabajo será entender los grupos de Coxeter como grupos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio vectorial. Para ello, presentaremos dos construcciones. La primera consiste en asociar a cada generador un vector de una base de un espacio vectorial real V y definir, sobre ella, la forma bilineal de Tits, que codifica las relaciones del grupo de Coxeter. A partir de esta forma se construyen los operadores lineales que actuarán como reflexiones. Bajo esta construcción, el grupo generado por ellas es isomorfo, como subgrupo de GL(V), al grupo de Coxeter original. El objetivo será demostrar que su acción embaldosa el espacio proyectivo del espacio dual de V, o bien un subconjunto del mismo. Esta propiedad geométrica será fundamental para probar que lso grupos de Coxeter son discretos.

La segunda construcción, en la que se pone el énfasis del trabajo, es la presentada bajo el nombre de Teorema de Vinberg. En este caso, trabajaremos en la esfera proyectiva y consideraremos reflexiones proyectivas. Se establece una condición necesaria para que la acción generada por dos de estas reflexiones embaldose la esfera proyectiva o un subconjunto convexo de esta. A posteriori, se introduce la noción de poliedro convexo y se consideran las reflexiones proyectivas respecto de sus caras. Estas se hacen corresponder con los generadores de un sistema de Coxeter, imponiendo las relaciones determinadas por las caras del poliedro cuando se verifican las condiciones de embaldosamiento. Mediante el Teorema de Vinberg, probaremos que estas condiciones locales de embaldosamiento se extienden a toda la esfera proyectiva, obteniendo nuevamente un embaldosamiento que nuevamente será fundamental para demostrar que los grupos de Coxeter son discretos.