Monotonicity formulas via parabolic-to-elliptic transformations: applications to the Ricci flow and fractional heat operators

El Área de Matemática del PEDECIBA invita a la defensa de tesis de Doctorado en Matemática del estudiante

                     Ignacio Bustamante Bianchi

titulada   "Monotonicity formulas via parabolic-to-elliptic transformations: applications to the Ricci flow and  fractional heat operators "

                                 
Tutor: Dr. Martín Reiris

Tribunal:  Leandro Del Pezzo (UdelaR), Mariel Sáez Trumper (Pontificia Universidad
Católica de Chile), José Rafael León (UdelaR), Miguel Paternain (UdelaR), Raúl Ferreira
(Universidad Complutense de Madrid)
 
Resumen:

Esta tesis contribuye al desarrollo de una teoría unificada de transformaciones parabólico-elípticas, que interpreta ecuaciones diferenciales parciales parabólicas como límites en alta dimensión de sus contrapartes elípticas. Nuestro trabajo avanza este marco  mediante dos contribuciones principales:

En primer lugar, extendemos esta conexión a operadores fraccionarios, permitiendo nuevas derivaciones de fórmulas de monotonía para ecuaciones parabólicas fraccionarias a partir de resultados elípticos conocidos. Como resultado central, establecemos la primera fórmula de monotonía para la ecuación parabólica fraccionaria semilineal $$(\partial_t -\Delta)^s u = |u|^{p-1}u,$$ obteniendo un análogo fraccionario de la célebre fórmula de monotonía de Giga-Kohn y extendiendo así estas técnicas más allá de su contexto original local.
En segundo lugar, profundizamos la comprensión geométrica de la relación entre el volumen monotónico introducido por Colding y el funcional de entropía de Perelman en el flujo de Ricci. Si bien es sabido que el volumen reducido de Perelman emerge como un límite en dimensión alta del volumen relativo de Bishop-Gromov, los orígenes geométricos de su funcional de entropía $\mathcal{W}$ no poseían semejante explicación. Aquí, demostramos que ambos funcionales surgen naturalmente de un marco unificado en dimensión alta a través del $N$-espacio de Perelman, proporcionando así una base elíptica completa para estas cantidades parabólicas fundamentales.